Numero, joka edustaa pinottujen pallojen määrää neliömäisessä pyramidissa
Matematiikassa pyramidiluku tai neliöpyramidiluku edustaa pinottujen pallojen määrää pyramidissa , jossa on neliökanta. Näiden lukujen tutkimus juontaa juurensa Arkhimedekseen ja Fibonacciin . Ne ovat osa laajempaa aihetta kuviollisista numeroista , jotka edustavat pisteiden lukumäärää, jotka muodostavat säännöllisiä kuvioita eri muodoissa.
.
n
{\näyttötyyli n}
Historia
wasan -kauden matemaatikot, jotka antoivat heille nimen "kirei saijo suida".
Saman ongelman, joka muotoiltiin yhdeksi tykinkuulat laskemisesta neliömäisessä pyramidissa, esitti Walter Raleigh matemaatikko Thomas Harriotille 1500-luvun lopulla, kun molemmat olivat merimatkalla. Tykinkuulaongelman , joka kysyy, onko olemassa neliöpyramidilukuja, jotka ovat myös muita neliölukuja kuin 1 ja 4900, sanotaan kehittyneen tästä vaihdosta. Édouard Lucas löysi 4900 pallon pyramidin neliömäärällä palloja, ja tehdessään tykinkuulaongelman tunnetuksi laajemmin ehdotti, että se oli ainoa ei-triviaali ratkaisu. Lucasin ja Claude-Séraphin Moret-Blancin epätäydellisten todisteiden jälkeen ensimmäisen täydellisen todisteen siitä, ettei muita vastaavia lukuja ole olemassa, antoi GN Watson vuonna 1918.
Kaava
Jos pallot on pakattu neliömäisiin pyramideihin, joiden kerrosten lukumäärä on 1, 2, 3 jne., niin kunkin pyramidin pallojen lukumäärän ilmaisevat neliöpyramidiluvut ovat:
1 ,
5 ,
14 ,
30 ,
55 ,
91 ,
140 ,
204 ,
285 ,
385 , 506 , 650 , 819 , ... .
Nämä luvut voidaan laskea algebrallisesti seuraavasti. Jos pallojen pyramidi jaetaan sen neliömäisiksi kerroksiksi, joissa jokaisessa on neliömäärä palloja, niin pallojen kokonaismäärä voidaan laskea kunkin neliön pallojen lukumäärän summaksi,
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
n
=
∑
k
=
1
n
k
2
=
1
+
4
+
9
+
⋯
+
n
2
,
{\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}
ja tämä summaus voidaan ratkaista antamaan kuutiopolynomi , joka voidaan kirjoittaa useilla vastaavilla tavoilla:
P
n
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
=
2
n
3
+
3
n
2
+
n
6
=
n
3
3
+
n
2
2
+
n
6
.
{\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}
Tämä yhtälö neliösummalle on Faulhaberin tehosummien kaavan erikoistapaus , ja se voidaan todistaa matemaattisella induktiolla .
( t + 1) ( t + 2) (2 t + 3)
/
6
P t + 1 .
Geometrinen luettelointi
Kaikki 30 ruutua 4 × 4 -ruudukossa
-neliöruudukosta. Tämä luku voidaan johtaa seuraavasti:
Tästä seuraa, että neliöiden lukumäärä
n × n
-neliöruudukossa on:
n
2
+
(
n
−
1
)
2
+
(
n
−
2
)
2
+
(
n
−
3
)
2
+
…
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
.
{\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}
Eli pulmaratkaisun antaa avulla .
-negatiivisten kokonaislukukertoimien summalla , parittomille arvoille on neliöpyramidiluku.
P
n
{\displaystyle P_{n}}
(
2
n
+
1
)
{\näyttötyyli (2n+1)}
2
×
2
{\näyttötyyli 2\kertaa 2}
n
{\näyttötyyli n}
n
{\näyttötyyli n}
Suhteet muihin hahmolukuihin
4900 palloa, jotka on järjestetty neliömäiseksi pyramidiksi, jonka sivu on 24 ja neliö, jonka sivu on 70
Tykinkuulaongelma kysyy tykinkuulat pyramidien kokoja, jotka voidaan myös levittää neliömatriiseksi tai vastaavasti, jotka luvut ovat sekä neliö- että neliöpyramidimuotoisia. 1:n lisäksi on vain yksi muu luku, jolla on tämä ominaisuus: 4900, joka on sekä 70. neliönumero että 24. neliön pyramidiluku.
summana :
P
n
=
(
n
+
2
3
)
+
(
n
+
1
3
)
.
{\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}
Tässä esityksessä esiintyvät binomiaaliset kertoimet ovat
tetraedrilukuja , ja tämä kaava ilmaisee neliöpyramidiluvun kahden tetraedriluvun summana samalla tavalla kuin neliöluvut ovat kahden peräkkäisen
kolmioluvun summat . Jos tetraedri heijastuu yhdeltä sen pinnalta, kaksi kopiota muodostavat
kolmion muotoisen bipyramidin . Neliön muotoiset pyramidiluvut ovat myös kolmion muotoisten bipyramidien kuviolukuja, ja tämä kaava voidaan tulkita tasa-arvoksi neliön pyramidilukujen ja kolmiomaisten kaksipyramidilukujen välillä. Vastaavasti nelikulmaisen pyramidin heijastus pohjan poikki tuottaa oktaedrin, josta seuraa, että jokainen
oktaedriluku on kahden peräkkäisen neliöpyramidiluvun summa.
Neliöpyramidiluvut liittyvät myös tetraedrilukuihin eri tavalla: saman neliöpyramidin neljän kopion pisteet voidaan järjestää uudelleen muodostamaan yksi tetraedri, jossa on kaksi kertaa enemmän pisteitä kummassakin reunassa. Tuo on,
4
P
n
=
T
2
n
=
(
2
n
+
2
3
)
.
{\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}
Muut ominaisuudet
, vaikka se konvergoikin nopeammin. Se on:
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
−
1
1
P
i
=
1
−
1
5
+
1
14
−
1
30
+
1
55
−
1
91
+
1
140
−
1
204
+
⋯
=
6
(
π
−
3
)
≈
0,849556.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\noin 0,849556.\ \\end{aligned}}}
Approksimaatioteoriassa parittomien lukujen sekvenssit, parittomien lukujen summat (neliöluvut), neliölukujen summat (neliöpyramidiluvut) jne. muodostavat kertoimet menetelmässä, jolla Tšebyševin approksimaatiot muunnetaan polynomeiksi .
Viitteet
Ulkoiset linkit
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
